Агуулга
ХХ зууны эхээр алдарт математикч Дэвид Хилберт олон тооны маш чухал математикийн онолуудын цаад тогтолцоо нь ерөнхийдөө төстэй байгааг олж анзаарчээ. Тийм төстэй болохоор нь тэдгээр онолыг бараг ганц л онол байна ч гэж хэлж болохоор. Энэ ажилалтын үндсэн дээр Математикт нэгэн шинэ салбар төрсөн бөгөөд гол онолыг нь анх дэвшүүлсэн хүнийх нь нэрээр Хилбертын орон зайн онол гэж нэрлэдэг болжээ. Энэ онол тооны онолоос авахуулаад квант механик хүртэлх олон салбарт нөлөөтэй. Энэ онолын талаар наад захын ч атугай мэдлэгтэй биш бол чи өөрийгөө математикч гэж нэрлээд ч яахав. Ингэхэд, математикч гэж эрдэмтэн болохоос өмнө наад захын математикын мэдлэгтэй байх хэрэгтэй биз дээ. Гэвч дөрвөн аргын тоо, үржүүлэх хүрдийг 10 жилд чинь (12 жилд) заасан байх гэж найдаж байна. Тиймээс би бүр гүнзгий ороод яахав. Оронд нь математикийг философийн үүднээс авч үзье.
Модель (загвар)
Чи нэг удаа нуурын эрэг дээр зогсож байгаад нуур руу чулуу шидье гэж шийджээ. Аль болох хол шийдье гэж бодов. Мэдээж байгаа бүх чадлаараа шиднэ. Харин тэрхүү, бүх чадлаа гаргаад шидэхэд яавал хамгийн хол чулуугаа тусгах вэ? Өөрөөр хэлбэл хэр дээшээ (ямар өнцгөөр) чулуугаа шидэх вэ? Хэрэв шулуундуу шидвэл чи хамаг хүчээрээ шидэж, чулуу их хол явсан ч гэсэн эрч нь саарахын хэрээр доошоо амархан унана. Харин хэт дээшээ шидвэл хол явахын оронд дээшээ, өндөр яваад, төдийлөн хол явж чадалгүй унана. Ньютоны физикчид энэ талаар тооцож үзээд 45 хэмээс арай дээхнүүр шидвэл зүгээр гэж тооцсон байна. Ийнхүү математик, физик хоёрыг хослуулаад л асуудал шийдчихэж байна уу? Гэвч бодит байдал дээр асуудал ийм хялбархан биш. Энэ хялбарчлал маань дэлхийн татах хүч чулуунд ямар хүчээр нөлөөлөх, агаарын эсэргүүцэл ямар байх, дэлхийн дороо эргэлтийн нөлөө, сар хаана байгаа вэ, сарны татах хүчний нөлөө зэргийг огтхон ч оруулж тооцоогүй байгаа юм. Түүнчлэн чи хэр өндөрлөг, далайн түвшнээс өндөрт байгаа нь ч нөлөөлнө. Хэдий чинээ далайн түвшнээс холдож дээшлэнэ төдий чинээ дэлхийн татах хүч суларна.
Уг нь бол тооцоондоо аль болох их хүчин зүйлсийг оруулж тооцвол уг нь илүү үр дүнтэй мэт. Гэвч ганцхан чулуу шидэхийн тулд тэр бүх тооцооллыг хийх хэрэг байна уу? Чухам ийм үед л математикийн модель хэрэг болдог ажээ.
Математикчид болон эрдэмтэд цэвэр логикийн үүднээс асуудлыг авч үзэхдээ модель ашигладаг юм. Моделийнхоо үндсэн дээр онол дэвшүүлнэ. Сүүлд нь хэн нэгэн туршилт замаар тэр онолыг нь баталж болох юм. Тэгвэл тухайн онол илүү бат ноттой болно гэсэн үг.
Гэхдээ асуудлыг хялбарчлах үед өөр асуудлууд гарч ирэх нь бий. Жишээ нь Ньютоны татах хүч, хөдөлгөөний хуулийн дагуу ижил өндрөөс хоёр биетийг доош унагавал тэр хоёр ижил тэнцүү хугацаанд газар унах ёстой. Гэвч тэгдэг бил үү? Хэрэв чи гольфын бөмбөг, ширээний теннисний бөмбөг хоёрыг гартаа барьж байгаад зэрэг тавьбал тэр хоёр зэрэг газар унах уу? Үгүй, гольфын бөмбөг нь түрүүлж унана. Тэгэхээр Галилео, Ньютон хоёр алдсан гэсэн үг үү?
Үгүй, чиний туршилт харин агаарын эсэргүүцлийг тооцоогүй гэсэн үг. Хэрэв туршилт хийх өрөөнийхөө бүх агаарыг сорж авч байгаад чулуу, өд хоёрыг ижил өндрөөс зэрэг унагавал тэр хоёр яг ижил хугацаанд шалан дээр унах болно. Тэр үед л чи Ньютоны онол ямар бодсоны эсрэг юм шиг мөртлөө зөв болохыг ойлгох байх.
Математик загваруудыг ашигласан нь
Хүн амын прогноз.
Биологичид, эдийн засагчид аливаа улсын хүн ам жишээ нь 20 жилийн дараа хэд байхыг янз бүрээр тооцож үздэг ба зүгээр нэг санаандаа орсон тоог хэлдэггүй. Энд ч бас тэд энгийн модель ашигладаг бөгөөд үүндээ цаг хугацаа, хүн амын анхны тоо, шинэ төрөлт, нас баралтын жил тутмын хувь хэмжээнүүдийг авч үздэг юм. Үүний үндсэн дээр л тэд тухайн улсын хүн ам 20 жилийн дараа хэд байхыг арай илүү шинжлэх ухааны үндэслэлтэй хэлдэг юм.
Хийний шинж чанар
1738 онд Даниел Берноуллийн анх дэвшүүлсэн, цааш нь Максвелл, Больцманн нарын хөгжүүлсэн хийний онол температур болон даралтын өөрчлөлтийн үед хийний шинж чанар хэрхэн хувирахыг тодорхойлсон. Тэд жижигхэн дөрвөлжин битүү хайрцган дотор хийний ганц молекул хийгээд, тэр нь хайрцгийн ханаа хэрхэн мөргөх, Хайрцгийг шахаж жижигхэн болговол, халаавал, хөлдөөвөл молекул ямар хариу үйлчлэл үзүүлэхийг судалсан. Улмаар ганц биш олон молекул хийвэл, хайрцаг дүүрэн хий хийж байгаад түүнийгээ халааж, хөлдөөж, шахвал юу болохыг тооцсон юм. Үүнийг математикийн үүднээс тооцох асар төвөгтэй бөгөөд одоо хүртэл бүрэн шийдэгдээгүй.
Хүний тархийг загварчилсан нь буюу компьютер
Загварчлалын дараагийн шат нь компьютерын програм буюу хүний бодол сэтгэлгээг математикийн үүднээс загварчлах асуудал байлаа.
Энэ асуудал хэдэн зуун жил дамнан хөгжиж байгаа бөгөөд үүний хүрээнд хийгдсэн хамгийн суурь том дэвшлүүдийн нэг нь AND, OR, NOT зэрэг логик гэйтүүдийг бүтээсэн явдал байсан юм. Хооронд нь цувруулан холбосн логик гэйтүүдийг circuit (хэлхээ) гэж нэрлэдэг юм. Чухам ийм сиркуйтуудын үндсэн дээр процессор бий болсон юм. Логик гэйтүүд тог л дамжуулдаг бөгөөд тэр нь 0 буюу 1 гэсэн тоог л илтгэдэг ба үүн дээр үндэслэн компьютерын хэл хөгжсөн юм. 0, 1 гэсэн хоёрхон тоон дээр үндэслэсэн болохоор компьютерын машины хэл нь бинарын хэл буюу хоёртын тоололтой. Өөрөөр хэлбэл хоёрхон үсэгтэй цагаан толгой л гэсэн үг. Яг л Морзын код шиг. Ийм морзын кодоор бид машинтай, компьютертэй, гар утастайгаа холбогддог юм. Мэдээж бид хүмүүс бид морзын кодоор дандаа ярьж чадахгүй, төвөгтэй тул компьютерын морзын кодыг өөрсдийнхөө хүний хэл рүү хэрвүүлэх Python, JavaScript, график интерфэйс зэрэг зүйлсийг зохион бүтээсэн юм. Үүний ачаар л чи гар утсаараа, ямар ч хоёртын тооллын комманд мэдэхгүй хэрнээ өөр хүн рүү мессеж бичиж, утсаар ярьж чадаж байгаа юм.
Тоо ба хийсвэрлэл
Натурал тоо буюу үндсэн тоо
Энэ бол 1, 2, 3, 4 зэрэг үндсэн тоонууд. Үүн дээр үндэслэн дөрвөн аргын тоо бодож болно. Нэмж болно, үржүүлж болно, хувааж болно. Үүнээс үндэслээд: commutative, associative хуулиуд гэж боловсруулсан юм.
Монголоор байр сольсон ч дүн өөрчлөгдөхгүй гэсэншүү утгатай.
Н1. Нэмэхийн коммютатив хууль: a+b = b + a
Энэ хууль ямар ч хоёр тооны хувьд хүчинтэй.
Н2. Нэмэхийн ассошиатив хууль (энэ нь хаалттай холбоотой):
a + (b + c) = (a + b) + c
Ү1. Үржүүлэхийн коммютатив хууль:
ab = ba
Энэ хууль ямар ч хоёр тооны хувьд хүчинтэй.
Ү2. Үржүүлэхийн ассошиатив хууль:
a(bc) = (ab)c
Ү3. 1-тэй тэнцэх дүрэм:
1а = a
Х. Хуваарилалтын хууль:
(a+b)c = ac + bc
Энэ хууль ямар ч а, b, c гэсэн гурван тооны хувьд хүчинтэй.
Эдгээрийг яагаад энд дурдсан юм бэ гэвэл, дээрх хуулиуд математикийн илэрхийлэл, бодлогуудыг хялбарчилж, дүрслэн төсөөлөхөд хэрэг болдог юм. Жишээ нь 2х3 =6 гэдгийг дараах маягаар дүрсэлж болно.
х х х
х х х
Тэг буюу 0
Түүхээс үзвэл 0-ийн тоо бүр сүүлд, эерэг тоонуудыг зохиосноос хойно зохиогджээ. 0 анх маш олон хүний хувьд ямар ч утгагүй, тэнэг санагдаж байсан аж. “Огтхон ч байхгүй зүйлийг тэмдэглэх ямар хэрэгтэй юм бэ?” Хийсвэр хийсвэрлэлийн үүднээс үзвэл 0-ийг ийнхүү тусгайлан тэмдэглэж, барьж авах нь хэрэгтэй байсан байна.
Н3 дүрэм. 0 дээр ямар ч тоог нэмсэн тэр тоо өөрөө гарна.
0 + a = a
0 өөр ямар шинж чанаруудтай вэ?
Ү3 дүрмээс үзвэл ямар ч тоог 1-ээр үржүүлэхэд тухайн тоо өөрөө гарах ёстой. Тиймээс 0-ийг 1-ээр үржүүлбэл 0 өөрөө гарах ёстой.
1 х 0 = 0
Тиймээс өөр бусад ямар ч тоог 0-ээр үржүүлсэн 0 гарах болно. “Алив чи 0 эгнээний тавиур дээрээс Капитан Грантын хүүхдүүд номыг аваад ир дээ” гээд би чамд хэлбэл чи яах вэ, 0 эгнээ нь байхгүй бол шүү дээ. Тийм эгнээ байхгүй бол тийм эгнээн дээр байгаа ном байх уу? Яг тийм.
Сөрөг тоо болон бутархай тоо
Жаахан хүүхдүүд нэмэх үйлдлийг илүү сайн ойлгодог мөртлөө хасах үйлдлийг ойлгох тэдэнд хэцүү байдгийг жаахан хүүхэдтэй ажиллаж үзсэн ямар ч багш хэлнэ. Үүнийг ойлгуулахын тулд “Чамд 3 алим байсан чинь эгч чинь нэгийг нь идчихэв. Чамд хэд үлдэх вэ?” гэх мэтээр л тайлбарлах хэрэг гарна. “Эгчээс эргүүлээд авчих юм чинь” гэж өөдөөс чинь хэлж магагүй шүү.
Хуваах үйлдэл бүр ч төвөгтэй. Үүнийг юмсыг бүлэглэж, хэсэг хэсэг болгон бөөгнүүлж байгаа маягаар тайлбарлаж болох юм. Арван хүүхэд тав таваараа бүлэг болон хуваагдвал хэдэн бүлэг болох вэ ч гэдэг юм уу. Үүнийг арай шат ахиулах юм бол Х буюу икс хэмээх ойлголт төрнө. Тавин хүүхэд тус бүр нь арван хүүхэдтэй бүлэг болон хуваагдахын тул хэдэн бүлэг болох ёстой вэ?
10х = 50
Үүний дараа бутархайг тайлбарлана гэдэг ёстой чамгүй бэрх даваа даа. Долоон тавган дээр 10 хуушуур бүтнээрээ тэнцүү хуваагдах аргагүй. Томчуул бол яахав 10/7 гэх мэт маягаар үүнийг хийсвэрлэн ойлгож чадна. Бутархай тооноос математикчид ургуулан бодох замаар сөрөг тоог гаргаж ирсэн ба дараах дүрмийг зохиожээ.
Н4. Ямар ч тооны хувьд түүнтэй дүйцэх дүнтэй сөрөг тоо оршдог. Үүнийг
a + b = 0
гэж томъёолдог юм. Үржүүлэхийн хувьд үүнтэй төстэйгөөр:
Ү4. 0-ээс өөр ямар ч тооны хувьд тухайн тоог 1-тэй тэнцүүлэх тийм тоо оршдог.
ac = 1
Н5. Хайнцуулах, тэнцэтгэх дүрэм. а, b , c гэсэн гурван тоо байсан бөгөөд тэр гурав:
a + b = a + c
гэсэн харьцаатай бол
b = c
байх ёстой болно.
Ү5. Үржүүлэхийн хайнцуулах/хасах/тэнцэтгэх дүрэм: Дээрхтэй мөн ижилхэн. Хэрэв а, b, c гэсэн гурван тоо байгаад, бас тэгээд а = 0 биш ба ab=ac бол
b=c
байх ёстой.
Хоёр өөр хуваарьтай (доод тоо нь) бутархайг хооронд нь нэмэхийн тулд эхлээд ижил хуваарьт оруулах ёстой.
Ийнхүү энэ бүхний үндсэн дээр тооны системийн загвар үүсэж байгаа юм.
Бодит ба комплекс (ээдрээтэй нарийн) тоонууд
Бодит тооны систем хязгааргүй бутархайнуудыг агуулсан, тэдний төлөөлж чадах бүх тооноос бүрддэг. Үүнийг өгүүлэхийн өмнө рационал тоо гэж юу болохыг зурвас тайлбарлая. Рационал тоо гэдэг бол үлдэгдэлгүй бутархайгаар илэрхийлж болох тоо л гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл хоёр буюу хэдэн тооны үйлдлээр илэрхийлж болох тоо юм. Ямар ч энгийн тоо рационал тоо. 5 гэдэг бол жишээ нь 5/1 гэж илэрхийлэгдэж чадах учраас рационал тоо юм. Рационал гэдэг нь утга учиртай, зөв, ойлгомжтой гэсэн утгатай үг юм.
Харин тэгтэл иксийн квадрат буюу х*х=2 гэдэг тоо бол рационал тоо биш. Энийг бодож олохын тулд 2-ын язгуурыг олох хэрэгтэй болно. Энэ тоо хязгааргүй үргэлжилнэ.
Хязгааргүйг харах нь
Математикчид үүнийг тооцож үзээд хязгааргүйн тухай ойлголт арифметикийн систем дотор лав таарч тохирч, оршиж чадахгүй юм байна гэж үзжээ. Заримдаа математикчид хязгааргүйг тооцоололдоо оруулж үздэг ч хязгааргүйн орон зай руу орох үед математикийн хууль дүрмүүд хүчингүй болж эхэлдэг учраас ямар ч байсан одоогийнхоо хууль дүрмийг хэвээр хадгалах үүднээс хязгааргүй руу тэр бүр хөл тавьдаггүй байна.
Зэрэг дэвшүүлэх: тэгэхдээ бутархай хуваариар болон сөрөг тоогоор
5-ын гурван зэрэгт гэдэг бол 5*5*5 = 125
Харин тэгвэл 2-ын 3/2 зэрэгт гэвэл юу болох вэ?
З1. а-ын 1 зэрэг гэдэг бол а нь өөрөө бодит тоо үед а өөрөө байх болно.
a1 = a
З2 дүрэм. (32 биш шүү Зэ үсгийн-ийн 3. Зэрэг дэвшүүлэх гэдгийг товчилсон)
am+n = am + an
3.3 дугаар дүрэм. Хэрэв а > 0 их бөгөөд а нь бодит тоо бол
ab
бодит тоо байх болно.
Зэрэг дэвшүүлэхтэй холбоотойгоор логарифмын тухай ойлголт төрнө. Үүнийг дараах гурван дүрмээр илэрхийлж болно.
Л1. log(10) = 1
Л2. log(xy) = log(x) + log(y)
Л3. Хэрэв x<y бол
log(x) < log(y)
байх болно.
(үргэлжлэл бий…)
